Matematika

Neka je zadan sustav s n linearnih jednadžbi i n nepoznanica, neka je A matrica sustava, D=det A, D_i = determinanta matrice kojoj je i-ti stupac zamijenjen s elementima jednostupčane matrice slobodnih koeficijenata B.

1. Ako je , sustav je određen i njegovo jedino rješenje je n-torka
   
   
2. Ako je , tada imamo mogućnosti:
   
   • Ako  sustav je kontradiktoran.
   • Ako je postoje sljedeće mogućnosti:
     
     • sustav je neodređen,
     • sustav je kontradiktoran.
       

Transformacije sustava koje ne mijenjaju skup rješenja sustava:

1. Ako u zadanom sustavu  dvije jednadžbe zamijene mjesta dobiveni sustav  ekvivalentan je polaznom sustavu.
   
   
2. Ako se neka jednadžba sustava zamijeni produktom te jednadžbe i proizvoljnog realnog broja različitog od nule, dobiveni sustav ekvivalentan je polaznom sustavu.
   
   
3. Ako se u danom sustavu neka jednadžba zamijeni sa zbrojem te jednadžbe i neke druge jednadžbe sustava, dobiveni sustav je ekvivalentan polaznom sustavu.
   

Neka su S i S' dva sustava linearnih jednadžbi. Kažemo da su ti sustavi ekvivalentni ako je skup rješenja sustava S jednak skupu rješenja sustava S'.

Sustav kod kojeg su svi slobodni koeficijenti jednaki nuli zove se homogeni sustav.

Sustav linearnih jednadžbi ima rješenje ako i samo ako je rang matrice sustava jednak rangu proširene matrice sustava.

(Napomena: proširenu matricu sustava dobijemo tako da matrici sustava dopišemo jednostupčanu matricu slobodnih koeficijenata.)

Izraz oblika

Matrica A ima rang k ( pišemo r(A)=k ) ako je k najveći prirodni broj takav da u matrici A postoji subdeterminanta k-tog reda različita od nule.

Rješenje sustava od m jednadžbi i n nepoznanica je svaka n-torka realnih brojeva koja uvrštavanjem u sustav zadovoljava sve jednadžbe sustava.

Sustav jednadžbi možemo riješiti pomoću inverzne matrice, ako je:

• matrica sustava kvadratna tj. broj jednadžbi jednak je broju nepoznanica,
• matrica sustava regularna,

Homogeni sustav u kojem je broj jednadžbi jednak broju nepoznanica ima i netrivijalnih rješenja ako i samo ako je determinanta sustava jednaka nuli.